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1．列一元一次方程解应用题
列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决．列一元一次方程解应用题的步骤是：
- 审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的等量关系；以及已知量，未知量，可能存在的隐藏条件；
- 设——设出未知数：一般按照题干提问巧设未知数，有时候也可间接设元。
- 列——根据找到的等量关系，列出需要的代数式，并列出完整的方程。
- 解——解方程：解出所列方程（按照一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一）
- 答——检验，检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位名称)
一、工程问题
【方法突破】
工程问题是典型的a=bc型数量关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
需要注意的是：工作总量往往在题目条件中并不会直接给出，我们可以设工作总量为单位1。
延伸：两个对象的工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间；
甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；
甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．
重要思想：“分干合想，合干分想”
【典型例题】
例1 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？
解析：首先设甲乙合作的时间是x分钟，根据题意可得等量关系：甲工作（30+x）分钟的工作量+乙工作x分钟的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解方程即可．
设甲乙合作的时间是x分钟，由题意得：
二、比赛计分问题
【方法突破】
比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：
每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;
得分总数+失分总数＝总积分;
失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。
【典例探究】
例1某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了_____道题。
解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是
3x-（45-x）=103
4x=148
解得 x=37
则 45-x=8
答：这个人选错了8道题.
- 顺逆流（风）问题
【方法突破】
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=(顺水速度-逆水速度）÷2
【典例探究】
例1 某轮船的静水速度为v千米/时，水流速度为m千米/时，则这艘轮船在两码头间往返一次顺流与逆流的时间比是（ ）
解析：顺水速度为：（v+m）千米/时，逆水速度为：（v-m）千米/时，在行程问题中，时间=路程÷速度，分别求出顺流的速度和逆流的速度，然后求出比值即可，题干信息中并没有提到路程，但是我们可知两码头之间的距离是个定值，
故设粮码头之间的路程为S,
则顺流行驶时间
则往返一次顺流与逆流的时间比为
故选B.
四、调配问题
【方法突破】
资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以清晰地表达出各个数量之间的关系．其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定．
【典例探究】
例1 某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？
解析：如果设从一车间调出的人数为x，那么有如下数量关系
| 原有人数 | 现有人数 | |
| 一车间 | 64 | 64-x |
| 二车间 | 56 | 56+x |
设需从第一车间调x人到第二车间，根据题意得：
2（64-x）=56+x，
解得x=24；
答：需从第一车间调24人到第二车间．
例2 甲仓库储粮35吨 ，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？
解析 ：若设应分给甲仓库粮食X吨，则数量关系如下表
| 原有粮食 | 新分给粮食 | 现有粮食 | |
| 甲仓库 | 35 | x | 35+x |
| 乙仓库 | 19 | (15-x) | 19+(15-x) |
故相等关系为：
甲仓库现有粮食的重量=2×乙仓库现有粮食的重量
解：设应分给甲仓库粮食x吨，则应分给乙仓库粮食（15-x）吨。
依题意得35+x=2[19+15(15-x)]
解得x=11
则15-x=4
答：应分给甲仓库11吨粮食，分给乙仓库4吨粮食。
例3 学校派七年级一、二班去植树，一班40人，二班52人，现从三班调来43人支援一班和二班，使二班的人数是一班的2倍，问应调入一班和二班各多少人？
分析：可设到一班x人，借助于表格分析题中的数量关系如下：
| 调派前人数 | 调派人数 | 调派后人数 | |
| 一班 | 40 | x | 40＋x |
| 二班 | 52 | 43－x | 52＋(43－x) |
解：设应调到一班x人，则调到二班(43－x)人，根据题意，得52＋(43－x)＝(40＋x)×2，解得x＝5.所以43－x＝38.
答：应调到一班5人，调到二班38人．
五、比例问题-巧设x
【方法突破】
按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知数的问题．
常用等量关系：各部分之和=总量。
比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，利用已知的比，写出相应的代数式。
【典例探究】
例1. 一个三角形三边长之比为2：3：4，周长为36cm，求此三角形的三边长．
解析：设三边长分别为2x，3x，4x，根据周长为36cm，可得出方程，解出即可．设三边长分别为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x=36，
解得：x=4．
故三边长为：8cm，12cm，16cm．
例2 .三个数的比是5：12：13，这三个数的和为180，则最大数比最小数大（ ）
A．48 B．42 C．36 D．30
解析:此题可设每一份为x，则三个数分别表示为5x、12x、13x，根据三个数的和为180，列方程求解即可．
设每一份为x，则三个数分别表示为5x、12x、13x，
依题意得：5x+12x+13x=180，
解得x=6
例3. 某会议厅主席台上方有一个长12.8 m的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如图所示．
根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少．
分析：根据比例关系，设边空、字宽、字距分别为9x,6x,2x，由等量关系“横框长度＝边空长度＋字宽长度＋字距长度”列出一元一次方程即可求解．
解：设边空、字宽、字距分别为9x cm,6x cm,2x cm，
则9x×2＋6x×18＋(18－1)×2x＝1 280，
解得x＝8.
所以边空为72 cm，字宽为48 cm，字距为16 cm.
例4. 学校派七年级一、二班去植树，一班40人，二班52人，现从三班调来43人支援一班和二班，使二班的人数是一班的2倍，问应调入一班和二班各多少人？
分析：可设到一班x人，借助于表格分析题中的数量关系如下：
| 调派前人数 | 调派人数 | 调派后人数 | |
| 一班 | 40 | x | 40＋x |
| 二班 | 52 | 43－x | 52＋(43－x) |
解：设应调到一班x人，则调到二班(43－x)人，根据题意，得52＋(43－x)＝(40＋x)×2，解得x＝5.所以43－x＝38.
答：应调到一班5人，调到二班38人．
六、配套问题
【方法突破】
配套问题是一种常见的应用题类型，在生活实践中有着广泛的应用，其量与量间的关系类似于工程问题，其特殊的等量关系是各种零件的数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比，其解法一般分直接解法和间接解法两种．
【典例探究】
例1 包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问每天如何安排工人生产圆形和长方形铁片能合理地将铁片配套？
解法1：可设安排x人生产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42-x）人，根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程，求解即可．
设安排x人生产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42-x）人，由题意得：
120（42-x）=2×80x，
去括号，得5040-120x=160x，
移项、合并得280x=5040，
系数化为1，得x=18，
42-18=24（人）；
答：安排24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片能合理地将铁片配套．
解法2：若安排x人生产长方形铁片，y人生产圆形铁片，根据共有42名工人，可知x+y=42.再根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套可知2×80x=120y，列出二元一次方程组求解。
设安排x人生产长方形铁片，y人生产圆形铁片，则有
答：安排24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片能合理地将铁片配套．
总结：解法1和解法2看似不同，实际内在联系紧密，不难发现如果用代入法解方程组，①用x表示y，代入②后，就能得到解法1的原方程。因此这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系，核心等量关系是生产总量相等。
- 日历问题
【方法突破】
以日历为载体的方程问题，关键是要熟悉日历中隐含的数字规律；
例如横向三个连续数字之间相差1，纵向三个连续数字之间相差7，由此可引申出下表的数量关系:
| x-7-1 | x-7 | x-7+1 |
| x-1 | x | x+1 |
| x+7-1 | x+7 | x+7+1 |
