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湘教版七年级数学上册知识点总结
第一章：有理数总复习
一、有理数的基本概念
1.正数：大于0的数叫做正数；例如：3， ，0.32
负数：小于0的数叫做负数。例如：
备注：在正数前面加“-”的数是负数；“0”既不是正数，也不是负数。（我们把正数和0统称为非负数）
2.有理数：整数和分数统称有理数。（有理数是指有限小数和无限循环小数。切记：）
3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
性质：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；
（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。
- 相反数：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。例如：5与－5 。
性质：（1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数） 。例如：
（2）0的相反数是0；
（3）若a、b互为相反数，则a+b=0；
- 倒数 ：乘积是1的两个数互为倒数 。
性质：（1）a的倒数是 （a≠0）； （2）0没有倒数 ；
（3）若a与b互为倒数，则ab=1；
6、倒数与相反数的区别和联系：
（1）与-互为相反数； 与（≠ 0）互为倒数；
（2）符号上：互为相反数（除0外）的两数的符号相反；互为倒数的两数符号相同；
（3）a、b互为相反数，则 a+b=0；a、b互为倒数则 ab=1；
（4）相反数是本身的数是0，倒数是本身的数是±1 。
7.绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
性质：（1）数a的绝对值记作︱a︱。例如：
（2）若a＞0，则︱a︱= a；即正数的绝对值是它本身。
若a＜0，则︱a︱= -a；负数的绝对值是它的相反数；
若a =0，则︱a︱=0；0的绝对值是0.
（3） 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.
- 有理数大小的比较:
- 可通过数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；
- 两个负数，绝对值大的反而小。例如：
9.科学记数法：把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。其中1≤|a|＜10，n为正整数， n等于原数的整数位数减去1。例如：
二、有理数的运算
1、运算法则：
（1）有理数加法法则：① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；② 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0； ③ 一个数同0相加,仍得这个数。（即：任意两个数相加，符号看大数字的。符号相同，数字相加；符号不同，数字相减。）
（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。
（3）有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。规律：① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。② 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
（4）有理数除法法则：①除以一个数等于乘上这个数的倒数；即 (b≠0)；
② 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数,都得0。
（5）有理数的乘方
①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
即a·a·a· ··· ·a=
（注意：
2、运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先进行括号里面的运算。
3、有理数的运算律：
（1)加法交换律：a+b=b+a ；（2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（3)乘法交换律：ab=ba ；
（4)乘法结合律：(ab)c=a(bc)；（5)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 。
第二章：代数式总复习
一、用字母表示数的书写要求:
1、在含有字母的式子里出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如：a×b写成a·b或ab； 2、字母和数字相乘，数字应写在字母左边，如“4x”. 当字母前的数字为1或-1时，将“1”省略不写； 3、带分数与字母相乘, 把带分数写成假分数； 4、在式子中出现除法运算时，一般按分数写法来写； 5、若式子中有“+、-”运算，式子后面有单位，则式子要用括号括起来。
二、代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独一个字母或者一个数也是代数式。
注意：等式、不等式都不是代数式，但它们的两边都由代数式组成；注意代数式的书写格式以及是否加括号。
三、单项式的概念：像2a2、πr2、a2h这样的代数式，数字与字母只进行了乘法（包含乘方）运算，这样的代数式叫做单项式（monomial）。特别地，单独一个字母或一个数也是单项式。
★单项式的系数: 单项式中与字母相乘的数叫作单项式的系数。
特别注意：“系数”必须包括数字前面的符号,另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“-1”时，只写“-”就可以了。
★单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数。
四、多项式的概念：像xy2+8x2和2x5-5x2y+3xy-1这样，几个单项式的代数和叫做多项式。其中的每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 一个多项式含有几个项就叫几项式。
★多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是多项式的次数。如：多项式2x5-5x2y+3xy-1共4项，次数分别为5、3、2、0，故该多项式的次数是五次，称为“五次四项式”。
★多项式的排列：
（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的降幂排列；（最高次项在最左边）；
（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的升幂排列。（最高次项在最右边）。
五、同类项定义：所含字母相同，相同字母指数也分别相同的项叫同类项。
★合并同类项步骤：
1、确定同类项；2、运用加法交换律与结合律将同类项结合在一起；3、利用乘法对加减法分配率合并同类项；4、整理合并后的多项式（按降幂排列）。
合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
多项式相等：两个多项式分别经过合并同类项后，如果它们的对应项系数都相同，则称这两个多项式相等。
六、代数式的值：像上面两个问题那样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫做代数式的值。
★注意：字母的值是负数，代入时应将负数加上括号；如果字母的值是分数，并要计算其平方、立方，代入时也应将分数加上括号；注意将乘号还原。（灵活使用整体代入法)
七、“去括号”法则：正不变，负变。要变全都变。
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；
括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。
“添括号”法则：
所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；
所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。
★注意：添括号刚好和去括号的过程相反，添括号是否正确，可以用去括号去检验。
第三章：一元一次方程总复习
一、基本概念：
1、方程：含有未知数的等式叫作方程。
2、建立方程模型：把所有要求的量用字母x（或y）等表示，根据问题中的数量关系列出方程，叫做建立方程模型。
3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数（即指数）是1，这样的整式方程叫一元一次方程。
4、方程的解：能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解。
5、解方程：求方程解的过程叫作解方程。
二、等式性质：
等式性质1：等式两边都加上（减去）同一个数（或同一个式），所得结果仍是等式。
数学语言描述：若a=b，则 a±c=b±c ；
等式性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（或同一个式）（除数或除式不能为0），所得结果仍是等式。
数学语言描述：若a=b，则 ac=bc，a/d=b/d (d≠0) ；
*传递性：若a=b, b=c, 则 a=c（也称等量代换）； *对称性：若a=b, 则 b=a 。
三、解一元一次方程的基本步骤：
1、去分母（方程两边每一项都同时乘以最小公分母，不要漏乘！）；
2、去括号（注意：1.符号问题；2.一个数乘以括号时，不要漏乘。先去小括号，再去中括号，最后去大括号。）；
3、移项（移项要变号，不移的项不变号。一般将含有未知数的项移到等式左边，把常数项移到等式右边。）；
4、化简（合并同类项）成一元一次方程的标准形式：ax=b；
5、未知数系数化为1：（两边都除以x的系数）。
四、列一元一次方程解应用题的步骤有：
1、（审）审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。
2、（设）设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。
3、（列）找出等量关系并列出方程：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。然后根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。
4、（解）解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。
5、（验）检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。
6、（答）作答：正确回答题中的问题。
五、常见的一元一次方程应用题：
1、增长类问题:
（1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量
2、等积变形问题：
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变。
（1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h
（2）长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc
3、数字问题：
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c 。
十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a 。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
4、销售问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ）
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝×100% （3）售价=成本价×(1+利润率)
（4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x折： 折后价（售价）=标价×计算。
5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。
（1）相遇问题： 甲的路程＋乙的路程＝总路程
（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
6、工程问题：
（1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间
（2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1
（3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和
（4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和
7、储蓄利息问题：
利息＝本金×利率×期数
利息税=利息×税率（目前，规定为20%。注：教育储蓄不收利息税）
实得本利和=本金+利息-利息税
实得利息（税后利息）=利息-利息税= 利息×(1-税率)
第四章：图形的认识总复习
一、图形的分类：
平面图形：各部分都在同一个平面内（三角形、正方形、圆）
几何图形
立体图形：各部分不都在同一平面内（三棱锥、正方体、球）
二、线段、直线、射线的相关性质：
| 名称 | 图形 | 表示方法 | 端点个数 | 延伸性 | 可否度量 |
| 线段 | A a B
B a A |
线段AB（BA）
线段a |
2个 | 不可延伸 | 能 |
| 射线 | O A | 射线OA | 1个 | 向一个方向延伸 | 否 |
| 直线 | A B | 直线AB(BA)
直线l |
0个 | 向两个方向延伸 | 否 |
三、基本事实：两点之间线段最短，过两点有且只有一条直线
- 角
1、角的表示方法：
- 用大写英文字母表示：∠AOB、∠O
①三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间的位置；
②用一个大写字母表示时，这个字母对应的角只有一个.
- 用阿拉伯数字表示：∠1、∠2
- 用希腊字母表示：∠α、∠β
- 角平分线的性质：
以一个角的顶点为端点的一条射线，把这个角分为相等的两个角，那么这条射线叫做这个角的角平分线.
- 角的分类：锐角小于90°；直角等于90°；钝角大于90°小于180°.
平角等于180°，周角等于360°。
4、角的单位：度（°）、分（′）、秒（″）
1°=60′，1′=60″； 1′=（）°，1″=（）′。
- 互余与互补：
互余：如果两个角的和等于一个直角，那么说这两个角互为余角（简称互余）
互补：如果两个角的和等于一个平角，那么说这两个角互为补角（简称互补）
6、同角（或等角）的补角（余角）相等。
第五章：数据的收集与统计图总复习
我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体，把组成总体的每个对象称为个体。对总体中每个个体都进行了调查叫全面调查。
从总体中抽取一部分个体进行调查，然后根据调查数据来推断总体情况叫抽样调查，从总体中抽取的一部分个体就组成了一个样本，样本中的个体个数叫做样本容量。
如果在抽样调查时能保证每个个体都有同等的机会被选入样本，那么我们把这种抽样方法叫简单随机抽样，所得到的样本称为简单随机样本。
- 如何收集数据：
（1）明确调查目的；（2）确定调查对象；（3）选择调查方法；（4）具体进行调查；（5）记录调查结果。
二、复式折线统计图的优点：
复式折线统计图不仅可以直观地比较两个或两个以上对象的发展变化趋势及各阶段数量的多少，而且可以直观地比较它们的数量增减变化的情况。
三、统计图能形象地刻画数据:常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图。
条形统计图：能清楚地表示出事物的绝对数量；
折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势；
扇形统计图：能清楚地表示各部分的比例关系。
四、制作扇形统计图的几个步骤：
（1）先计算各部分占总数的百分比；
（2）算出与各部分百分比相对应的圆心角度数；
（3）取适当半径作一个圆，用量角器画出各扇形的圆心角；
（4）注明各扇形所表示的内容和所占百分比，并用不同标记加以区别；
（5）写出统计图名称。
五、描述一组数据的平均水平或集中趋势的常用方法有平均数、众数和中位数。
1、平均数是一组数据的数值代表值，它刻画了这组数据整体的平均状态。
2、中位数代表一组数据的数值大小的中点，如果数据的个数是奇数个，中位数是将数据按大小排列后，位于中间的一个；如果数据的个数是偶数，中位数是位于中间的两个数的平均值。
3、众数是一组数据中出现次数最多的数据。
