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最短路径问题是初二上学期数学的一个重难点,很多同学看到这种题型可能会没有思路,不知道怎么下手,今天豆姐给你们分享的就是一张图彻底搞定这个问题!
寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径,算法具体的形式包括:
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点,求最短路径的问题。
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。
涉及知识:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”。
出题背景:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路:找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
【问题1】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线l上求一点P,使PA+PB值最小. | 连AB,与l交点即为P. | 两点之间线段最短.
PA+PB最小值为AB. |
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【问题2】“将军饮马” | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线l上求一点P,使PA+PB值最小. | 作B关于l的对称点B'连A B',与l交点即为P. | 两点之间线段最短.
PA+PB最小值为A B'. |
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【问题3】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线、上分别求点M、N,使△PMN的周长最小. | 分别作点P关于两直线的对称点P'和P'',连P'P'',与两直线交点即为M,N. | 两点之间线段最短.
PM+MN+PN的最小值为 线段P'P''的长. |
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【问题4】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线、上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小. | 分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q'和P'连Q'P',与两直线交点即为M,N. | 两点之间线段最短.
四边形PQMN周长的最小值为线段P'P''的长. |
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【问题5】“造桥选址” | 作法 | 图形 | 原理 |
直线∥,在、,上分别求点M、N,使MN⊥,且AM+MN+BN的值最小. | 将点A向下平移MN的长度单位得A',连A'B,交于点N,过N作NM⊥于M. | 两点之间线段最短.
AM+MN+BN的最小值为 A'B+MN. |
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【问题6】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线上求两点M、N(M在左),使,并使AM+MN+NB的值最小. | 将点A向右平移个长度单位得A',作A'关于的对称点A'', 连A''B,交直线于点N,将N点向左平移个单位得M. | 两点之间线段最短.
AM+MN+BN的最小值为 A''B+MN. |
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【问题7】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在上求点A,在上求点B,使PA+AB值最小. | 作点P关于的对称点P',作P'B⊥于B,交于A. | 点到直线,垂线段最短.
PA+AB的最小值为线段P'B的长. |
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【问题8】 | 作法 | 图形 | 原理 |
A为上一定点,B为上一定点,在上求点M,在上求点N,使AM+MN+NB的值最小. | 作点A关于的对称点A',作点B关于的对称点B',连A'B'交于M,交于N. | 两点之间线段最短.
AM+MN+NB的最小值为线段A'B'的长. |
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【问题9】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线l上求一点P,使的值最小. | 连AB,作AB的中垂线与直线l的交点即为P. | 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.
=0. |
【问题10】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线l上求一点P,使的值最大. | 作直线AB,与直线l的交点即为P. | 三角形任意两边之差小于第三边.≤AB.
的最大值=AB. |
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【问题11】 | 作法 | 图形 | 原理 |
在直线l上求一点P,使的值最大. | 作B关于l的对称点B'作直线A B',与l交点即为P. | 三角形任意两边之差小于第三边.≤AB'.
最大值=AB'. |
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【问题12】“费马点” | 作法 | 图形 | 原理 |
△ABC中每一内角都小于120°,在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小. | 所求点为“费马点”,即满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°.以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE,连CD、BE相交于P,点P即为所求. | 两点之间线段最短.
PA+PB+PC最小值=CD. |
向上吧同学
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