八年级上册数学最短路径问题

2023年5月20日21:30:58八年级上册数学知识点345阅读模式

短路径问题是初二上学期数学的一个重难点,很多同学看到这种题型可能会没有思路,不知道怎么下手,今天豆姐给你们分享的就是一张图彻底搞定这个问题!

寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径,算法具体的形式包括:

①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点,求最短路径的问题。

②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。

③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。

④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

涉及知识:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”。

出题背景:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、、坐标轴、抛物线等。

解题思路:找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

【问题1】 作法 图形 原理
在直线l上求一点P,使PA+PB值最小. AB,与l交点即为P 两点之间线段最短.

PA+PB最小值为AB

【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理
在直线l上求一点P,使PA+PB值最小. B关于l的对称点B'连A B',与l交点即为P 两点之间线段最短.

PA+PB最小值为A B'.

【问题3】 作法 图形 原理
在直线上分别求点MN,使△PMN的周长最小. 分别作点P关于两直线的对称点P'和P'',连PP'',与两直线交点即为MN 两点之间线段最短.

PM+MN+PN的最小值为

线段PP''的长.

【问题4】 作法 图形 原理
在直线上分别求点MN,使四边形PQMN的周长最小. 分别作点Q P关于直线的对称点Q'和P'连QP',与两直线交点即为MN 两点之间线段最短.

四边形PQMN周长的最小值为线段PP''的长.

【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理
直线∥,在、,上分别求点MN,使MN⊥,且AM+MN+BN的值最小. 将点A向下平移MN的长度单位得A',连AB,交于点N,过NNM⊥于M 两点之间线段最短.

AM+MN+BN的最小值为

AB+MN

【问题6】 作法 图形 原理
在直线上求两点MNM在左),使,并使AM+MN+NB的值最小. 将点A向右平移个长度单位得A',作A'关于的对称点A'', 连A''B,交直线于点N,将N点向左平移个单位得M 两点之间线段最短.

AM+MN+BN的最小值为

A''B+MN

【问题7】 作法 图形 原理
在上求点A,在上求点B,使PA+AB值最小. 作点P关于的对称点P',作PB⊥于B,交于A 点到直线,垂线段最短.

PA+AB的最小值为线段PB的长.

【问题8】 作法 图形 原理
A为上一定点,B为上一定点,在上求点M,在上求点N,使AM+MN+NB的值最小. 作点A关于的对称点A',作点B关于的对称点B',连AB'交于M,交于N 两点之间线段最短.

AM+MN+NB的最小值为线段AB'的长.

【问题9】 作法 图形 原理
在直线l上求一点P,使的值最小 AB,作AB的中垂线与直线l的交点即为P 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.

=0.

【问题10】 作法 图形 原理
在直线l上求一点P,使的值最大 作直线AB,与直线l的交点即为P 三角形任意两边之差小于第三边.≤AB

的最大值AB

【问题11】 作法 图形 原理
在直线l上求一点P,使的值最大 B关于l的对称点B'作直线A B',与l交点即为P 三角形任意两边之差小于第三边.≤AB'.

最大值AB'.

【问题12】“费马点” 作法 图形 原理
ABC中每一内角都小于120°,在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小. 所求点为“费马点”,即满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°.以ABAC为边向外作等边△ABD、△ACE,连CDBE相交于P,点P即为所求. 两点之间线段最短.

PA+PB+PC最小值CD

 

 

weinxin
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