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一、二次函数的有关概念：
1、二次函数的定义：
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
2、二次函数解析式的表示方法
（1） 一般式：（，，为常数，）；
（2） 顶点式：（，，为常数，）；
（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
二、二次函数图象的画法
1.基本方法：描点法
注：五点绘图法。利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
三、二次函数的图像和性质
1.二次函数的性质
（1）. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
当时，有最小值．
（2）. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
当时，有最大值．
2.二次函数 的性质：
| 的符号 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 性质 |
| 向上 | X=h | 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． | ||
| 向下 | X=h | 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． |
四、二次函数图象的平移
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
五、二次函数与一元二次方程：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
六、二次函数中的符号问题
1. 二次项系数
决定了抛物线开口大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
总结：“左同右异”
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
七、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
