初中名师视频课程免费试听1200分钟 |
||||
| 初一全科强化班辅导课程 免费听课 | 初二强化班辅导课程 免费听课 | 初三强化班辅导课程 免费听课 | ||
第一章有理数知识点归纳
一、正数和负数
正数和负数的概念
负数：比0小的数； 正数：比0大的数。
0既不是正数，也不是负数
☆注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.
二、有理数
有理数的概念
（1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
（2）正分数和负分数统称为分数
（3）整数和分数统称有理数
☆注意：①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
数轴的三要素都是根据实际需要规定的，同一数轴上的单位长度要统一；
（2）数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，正有理数可用原点正方向的点表示，负有理数可用原点负方向的点表示，0用原点表示。
相反数
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；任何一个有理数都有相反数
（2）互为相反数的两数的和为0，即：若a、b互为相反数，则a+b=0；互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。
（3）在一个数的前面加上负号“-”，就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。
（4）多重符号的化简
多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
绝对值
（1）绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：｜a｜
（2）求绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0时，|a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0时，|a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
（3）若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
有理数比大小
（1）利用数轴表示两数大小
在以向右为正方向的数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
（2）数轴上特殊的最大（小）数
最小的自然数是0，无最大的自然数；
最小的正整数是1，无最大的正整数；
最大的负整数是-1，无最小的负整数
（3）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（4）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0。
三、有理数的加、减法运算
有理数加法
- 同号两数相加，取相同符号，并且把绝对值相加
- 异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值
- 互为相反数的两数相加得0
☆有理数的加法运算定律
加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，a+b=b+a
加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，再把结果与第三个数相加；或者先把后两个数相加，再把结果与第一个数相加，和不变，（a+b）+c=a+（b+c）
☆如何利用加法运算定律对多个有理数相加的运算进行简化计算
- 同号结合相加（正数+正数、负数+负数）
- 互为相反数的两数结合相加（把相加结果为零的数结合相加）
- 几个分数相加，将同分母的先结合相加
- 将求和后为整数的数先结合相加
- 几个带分数相加，可将整数部分与分数部分分别结合相加
☆在一个求和的式子中，通常可以把“+”省略不写，同时去掉加数的括号
有理数的减法
根据相反数的定义，减去一个数，等于加上这个数的相反数，有理数的减法可以转化为加法进行计算。引入相反数的之后，有理数的加减混合运算可以统一为加法运算。
四、有理数的乘、除法运算
有理数乘法
- 异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘；同号两数相乘得正数，并把绝对值相乘。
- 任何数与0相乘都得0
☆有理数的乘法运算定律
乘法交换律：两个有理数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。a×b=b×a
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘，积不变。a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律：两个数的和（差）同一个数相乘,可以先把两个加数（减数）分别同这个数相乘,再把两个积相加（减）,积不变。a×(b+c) =a×b+a×c
倒数
（1）乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；
（2）若a,b互为倒数，则ab=1;
（3）求倒数：求一个数的倒数就是用1去除以这个数。
①求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；
②求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1；
有理数除法
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0
有理数的加减乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行，同级运算中，按前后顺序从左到右依次运算，谁在前先算谁。
五、有理数乘方
乘方的概念：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数。
记作：an,在an中，a 叫做底数，n 叫做指数，an叫做幂
乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
（3）互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数，偶数次幂相等。
（4）任何一个数的偶数次幂都是非负数。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算中，按前后顺序从左到右依次运算，谁在前先算谁。
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
科学记数法
把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤|a|<10，n是正整数），这种记数法叫科学记数法。
方法：①a的确定：把原数的小数点向左移动，使它的整数位数为1，数的正负号保持不变；②n=原数的整数数位-1。
