鲁教版五四制七年级上册认识三角形知识点梳理

鲁教版五四制七年级上册认识三角形知识点梳理

一、学习目标
1. 掌握三角形的三边关系与三角形内角和性质；
2. 理解三角形、三角形的中线、三角形的高、三角形的角平分线的概念；
3. 了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图形设计；
4. 掌握全等三角形的性质，能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
二、知识归纳
1. 三角形的三边关系
（1） 三角形的任意两边之和大于第三边；
（2） 三角形的任意两边之差小于第三边.
2. 三角形的内角和等于180°.
3. 三角形的中线、角平分线、高
连结三角形的顶点和它所对的边的中点所得到的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
4. 形状、大小相同的图形放在一起完全重合，像这样能够完全重合的两个图形叫做全等形.
5. 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
6. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等、对应角相等.

一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。 3.全等三角形： 三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 注意： （1）周长相等的两个三角形，不一定全等； （2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）边边 边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。 （2）边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。 （3）角边角公理： 两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。 （4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。 2.直角三角形全等的判定斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”)． 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

1.1轴对称现象

1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。

(2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。

例:①圆的对称轴是它的直径( × )  直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线);

②角的对称轴是它的角平分线( × )  角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线);

③正方形的对角线是正方形的对称轴( × )  对角线也是线段而不是直线。

2.轴对称: (1)对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。

(2)轴对称图形与轴对称的关系:

①联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合;当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它是一个轴对称图形；

②区别:轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。

1.2简单的轴对称图形

有两边相等的三角形叫等腰三角形。

1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。 注意:对于一般的等腰三角形,一定要说清哪边上的中线、高和哪个角的平分线;等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高及其所对的角的平分线。

2.等角对等边,等边对等角:如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等; 如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。

3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离(垂线段)相等。

4.中垂线定理(1)概念:既垂直又平分线段的直线叫垂直平分线,简称中垂线；

(2)定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离(与端点的连线)相等。

5. 30°所对直角边等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半。

1.3探索轴对称的性质

1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

2.轴对称图形对应线段相等，对应角相等。

1.4利用轴对称设计图案

1.画点A关于直线L的对应点A´: 1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B

2、延长AB至A´，使得B A´=AB

3、点A´就是点A关于直线L的对应点

2.画线段AB关于L的对应线段A´B´: 1、过点A作对称轴L的垂线A A´，使CA=C A´

2、过点A作对称轴L的垂线B B´，使DB=DB´

3、连接A´B´，A´B´即是关于直线L的对应线段。