人教版九年级数学下册知识讲义锐角三角函数（附练习及答案）

一、考点突破

1. 初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中，一个锐角固定时它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都是定值，两条直角边的比值也是定值。
2. 探究一个锐角三角形中三边比值的规律，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，了解同一个锐角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3. 探索直角三角形中三边的数量关系，进一步领会数形结合的思想方法。

二、重难点提示

重点：三个锐角三角函数的意义，以及它们之间的几个简单关系。

难点：运用锐角三角函数的概念进行有关计算，根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间的几个简单关系。

考点精讲

一、三角函数的概念

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记做sinA，即sinA＝。把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记做cosA，即cosA＝。把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记做tanA，即tanA＝。

对于锐角A的每一个确定的值，sinA都有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数。同样地，cosA，tanA也是∠A的函数。

易错点：

（1）三角函数是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，是数值，没有单位，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关。

（2）在表示三角函数时，三角函数的名称和角的名称是一个完整的符号，如tanA，记号里省去了“∠”，当用三个大写字母表示一个角时，“∠”不能省略，如tan∠ABC。

二、三角函数间的关系

（1）互余两角的正弦和余弦之间的关系：sinA＝cosB，sinB＝cosA；

（2）同角间的正弦和余弦之间的关系：sin²A＋cos²A＝1；

（3）正切与正弦、余弦间的关系：tanA＝，tanB＝＝，tanA·tanB＝1。

【重要提示】

注意互余两角的正弦和余弦之间的关系，适用于两角互为余角的情况，它们不一定是同一直角三角形的两个锐角。

典例精讲

例题1  a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝1：：，则cosB的值为（   ）

1. B. C. D.

思路分析：先由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用余弦函数的定义求解。

答案：∵a：b：c＝1：：，∴b＝，c＝，∴a²＋b²＝a²＋（）²＝3a²＝c²，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴cosB＝，故选B。

技巧点拨：本题考查了勾股定理的逆定理和余弦函数的定义，注意三角函数值是直角三角形中两边的比值，确定直角三角形是一个必要条件。