人教版八年级上册数学第12章全等三角形证明条件归类

全等三角形证明条件归类

    初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：

一是公共边是第三个条件

例1：如图，在中，AC=BD，AD=BC，求证：≌

证明：△ABD和△BAC中：

∵ BD=AC

BC=AD

 AB=BA(公共边)

∴ ≌（SSS）

二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件

例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC≌ΔDEF

证明：∵AE=BD

∴ AE+EB=BD+EB（即AB=DE）

在△ABC和△DEF中

∵AC=DF     ∠A=∠D    AB=DE

∴ΔABC≌ΔDEF（SAS）

例2如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

∵CE=FB         ∴CE+EF=EF+FB（即CF=BE）

∵AB=DC   AE=DF    CF=BE

∴△ABE≌△CDF（SSS）

∴AF=DE

三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件

例1：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

证明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）

四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件
例1：如图5，△ABC和△CDE都是等边三角形，

求证：△ACD≌△BCE。

证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴AC=BC  CD=CE  ∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE（即∠BCE=∠ACD）

在△ACD和△BCE中，
∵ AC=BC   ∠BCE=∠ACD   CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）

五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件

例1已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC       ∴∠EAD＝∠CAD

∵AE＝AC     AD＝AD

∴△AED≌△ACD  （SAS）   

∴∠E＝∠C

∵AC＝AB+BD          ∴AE＝AB+BD

∵AE＝AB+BE          ∴BD＝BE            ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE     ∴∠ABC＝2∠E    ∴∠ABC＝2∠C

六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件

例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE．求证：△ABC≌△DCB．证明：∵∠A=∠D     AE=DE    ∠AEB=∠DEC（对顶角）

∴△AED≌△ACD  （ASA）  ∴EC=EB

      ∴EC+AE=EB+DE（即AC=DB）

   在Rt△ABC和Rt△DCB中

∵∠A=∠D=90°   AC=DB    BC=BC（公共边）

      ∴△ABC≌△DCB   (HL)

七是中点等分线段对应相等是第三个条件

例1，如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

求证：△AED≌△EBC．

证明：∵DC∥AB      ∴∠CDE＝∠AED

∵DE＝DE，DC＝AE   ∴△AED≌△EDC

∵E为AB中点    ∴AE＝BE   ∴BE＝DC

∵DC∥AB       ∴∠DCE＝∠BEC

∵CE＝CE   ∴△EBC≌△EDC      ∴△AED≌△EBC

八是其他情形

对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：

一是公共角相等是第三个条件

• 如图，CA⊥BF于A，BE⊥CF于E，若AC=BE

求证：△AFC≌△EFB

证明：∵CA⊥BF   BE⊥CF   ∴∠CAF=∠BEF=90°

      在 △AFC和△EFB中  

     ∵∠CAF=∠BEF     ∠F=∠ F（公共角）  AC=BE               ∴△AFC≌△EFB（AAS）

二是对顶角相等是第三个条件

例1如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，∠CFM=∠E  BE=CF。

求证：△BEM≌△CFM

证明：∵∠CFM=∠E    ∠CMF=∠BME（对顶角）  BE=CF 

∴△BEM≌△CFM（AAS）

三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件

例1.  已知：∠1=∠2，EF//AB，∠B=∠ACD   CD=DE

求证：△EFD≌△DAC

证明∵EF//AB

∴∠1=∠EFD    ∠B=∠FED

∵∠1=∠2       ∠B=∠ACD

∴∠EFD=∠2    ∠FED=∠ACD

在△EFD和△DAC中

∵∠EFD=∠2   ∠FED=∠ACD   CD=DE

∴△EFD≌△DAC

四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件

例1．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB               ∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE      ∴△CEB≌△CEF      ∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD     ∴∠DAC＝∠FAC

又∵AC＝AC        ∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF         ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

例2．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；

(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

 

（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．      ∵AC=BC，     ∴△ADC≌△CEB．

（2）略

五是垂直相交的角是90°是第三个条件

例1：如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

求证：MB=MD，ME=MF

 

（1）∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．
在Rt△DEM和Rt△BFM中

∵∠DME=∠BMF   ∠DEC=∠BFA   DE=BF

∴RtCBFM（AAS）   ∴MB=MD，ME=MF     （2）略

六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件

例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠1=∠2，

求证：△ABD≌△ACD

证明：∵AD平分∠BAC  ∴∠BAD=∠CAD，
∵∠1=∠2    AD=AD   ∠BAD=∠CAD

∴△ABD≌△ACD（ASA）

七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件

例1．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：△ABF≌△AEC；

证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，  ∴∠BAE=∠CAF=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF

在△ABF和△AEC中，

∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件

例1如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△DCB

证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4   

∴∠1+∠3=∠2+∠4（即∠ABC=∠DCB）

在△AOB和△DOC中

∵∠ABC=∠DCB       BC=BC      ∠4=∠3

∴△ABC≌△DCB

九是等边三角形的三个角都等于60度（等腰三角形两底角相等）是第三个条件

例1：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，

求证：△CFD≌△BED．

证明：作CG⊥AB,交AD于H,   则∠ACH=45º,∠BCH=45º
∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA    ∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º    ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45º           CD=DB
∴△CFD≌△BED

十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件

 

 

十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件

例1．AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

证明：在△ABD与△ACD中

∵AB=AC    BD=DC    AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）  

∴∠ADB=∠ADC         ∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

∵BD=DC      ∠BDF=∠FDC        DF=DF

∴△FBD≌△FCD

十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件

例1．如图，已知在△ABC内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

解：延长AB至D，使BD＝BP，连DP

在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

从而∠BDP＝40°＝∠ACP

△ADP≌△ACP（ASA）  故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝∠QCB   故 BQ＝QC

BD＝BP 从而BQ+AQ=AB+BP

例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

求证△CDE≌△ADF

证明：连接D，D为等腰斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA

CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°

由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90°

从而∠CDE＝∠FDA    DE≌△ADF（ASA）

十三其他情形

  

无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件，像前面的公共边相等，公共角相等，对顶角相等这些类型，我们可以把已知条件和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。

突破三角形全等证明这一难关，除了我们要加强联系，更重要的是我们在练习的时候要仔细看图，提高识别图形的能力。