人教版七年级数学上册知识要点

人教版七年级数学上册知识要点通关

第一章 有理数

1.1正数和负数

1．  大于0      的数叫做正数；在正数前面加上“ - ”或负号  的数叫做负数；   0  既不是正数，也不是负数．

2．非正数即  负数   或  0  ；非负数即  正数  或   0   。

3．如何用正负数表示具有相反意义的量：若已知一个量用正数表示时，那么与其相反意义的量就用  负数  表示，反之亦然．如我们习惯把“上升、前进、 收入、零上、节约”记作“ + ”，那么把  下降、后退、支出、零下、浪费  记作“ - ”．

 

1.2.1有理数

1．正整数、0、负整数绕称为  整数  ；正分数、负分数统称为, 分数  ；   整数   和  分数 统称为有理数．

2．有理数可按正、负性质分类，也可按整数、分数分类：

 正整数                     正整数

正有理数                       整数    0

 正分数                     负整数

有理数    0                   有理数

 负整数                     正分数

负有理数                       分数

 负分数                     负分数

 

1.2.2数轴

1．规定了  单位长度  、 原点 和  正方向 的直线叫做数轴．

2. 数轴的画法：先画一条直线，在直线上任取一点作为 原点 ，用数0表示；一般选取原点向右（或向上）为 正方向  ，并用箭头表示，根据需要取适当的长度作 单位长度  。

3．任何一个有理数都可以用数轴上的  点 表示．

4. 一般地 ，若a是一个正数，则在数轴上表示数a的点在原点的右    边，与原点的距离是a  个单位长度；表示数 -a的点在原点的  左 边，与原点的距离是  a  个单位长度．

 

1.2.3相反数

1．只有  符号  不同的两个数叫做互为相反数．

2．除0外的两个相反数在数轴上位于原点的   两   侧，且到原点的距离     相等   ．

3. 相反数的求法：在任意一个数的前面添上“ - ”号，所得的数就是原数的相反数．

4．把多重符号化成单一的符号由“ - ”的个数决定，若“ - ”的个数为偶数个，化简结果为  正  ；若“ - ”的个数为奇数个，化简结果为    负  。

 

1.2.4 绝对值

1. 数轴上表示数a的点与 原点  的距离叫做数a的  绝对值  ，记作∣a∣。

2．绝对值的性质用语言叙述为：

(1) 一个正数的绝对值是    它本身   。

(2) 一个负数的绝对值是   它的相反数  。

(3) 0的绝对值是   0     。.

用式子表示为：

① 当a>0时，∣a∣=     a    ；

② 当a<0时，∣a∣=    -a    ；

③ 当a=0时，∣a∣=    0     。

3．绝对值具有非负性：任意一个有理数的绝对值都不是负数，即绝对值具有非负性，∣a∣≥0．

 

1.2.4有理数大小的比较

1．有理数的大小比较方法：在数轴上表示出有理数．它们从左到右的顺序，就是有理教由小到大的顺序，即左边的数   小于   右边的数。

2．利用法则比较有理的大小，

法则：（1） 正数   大于   0，0  大于   负数，正数  大于   负数；

（2） 两个负数比较．绝对值   大   的反而   小 。

 

1.3.1有理加法法则

1．有理加法法则：

(1) 同号两数相加，取   相同    的符号，并把绝对值相加；

(2) 绝对值不相等的异号两数相加，取  绝对值较大的加数的    的符号，并用较大的绝对值   减去    较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得    0   。

(3) 一个数同0相加，仍得   这个数    。

2．计算两个有理数的加法时，先要确定和的   符号  ，再用每个加数的绝对值按法则计算。

 

1.3.1有理数的加法运算律

1．用字母表示有理数的加法交换律：  a+b = b+a     ，加法结合律： a+b+c = a+(b+c)  。 

2．多个数相加时，运用运算律可以简化运算，一般思路：

(1) 互为相反数相加；

(2) 符号相同的数相加，即“同号结合法”；

(3)“同分母结合法”；

(4) 几个数相加得整数，即“凑整法”；

(5) 整数与整数、小数与小数相加，即“同型结合法”；

(6) 带分数相加时，可以先拆成整数和分数，再用运算律相加，即“拆项结合法”等.

 

1.3.2有理数减法法则

1. 有理数减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数  。
2. 用字表示减法法则为：a-b = a+（-b）

 

1.3.2有理数加减法混合运算

1．多个有理数加减法混合运算的步骤：

(1) 减法转化为    加法    ，如：a+b-c-d =  a+（+b）+（-c）+（-d）

(2) 省略括号与     加法      ；

(3) 利用加法法则和运算律进行运算．

2．省略加号的代数和的形式，通常将   加号  省略不写，同时去掉每个加数的  括号   。

 

1.4.1有理数的乘法

1．有理数乘法法则：两数相乘，同号   得正   ，异号  得负   ，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得    0    。

2．乘积是    1    的两个数互为倒数，数a（a≠0）的倒数是  ；0的倒数   不存在   。

3．互为倒数的两个数的符号相同，乘积为1；要与相反数区别开，相加和为0的两个数互为相反数，反之都成立．

 

1.4.1有理数的乘法运算律

1．乘法交换律：两数相乘， 交换因数的位置    ．积相等．即a×b =  b×a  。

2．乘法结合律：三个数相乘 ，先把  前两个数   相乘，或者 先把  后两个数   相乘，积相等，即（ab）c = a（bc） 。

3．分配律．一个数与两个数的和相乘，等于把  这个数分别同这两个数  相乘，再把   积相加  ．即a（b+c）=  ab+ac  ，有时也可以逆用：a·b+a·c =  a（b+c） 。

 

1.4.2有理数的除法

1．有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的  倒数  。

2．两数相除，同号  得正     ，异号  得负     ，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数得  0  。

3．有理数的乘除混合运算通常先把除法转化为  乘法 ，然后确定积的  符号   ，最后求出结果。

 

1.4.2有理数的加减乘除混合运算

1．有理数的加减乘除混合运算，按照“ 先乘除，后加减 ”的顺序进行，若带有括号，则先算括号内的．

2．用计算器进行有理数的加减乘除运算时，一般按式子所表示的 顺序 进行即可，其中要注意符号键 （-） 的使用．

 

1.5.1乘方

1．求n个相同因数的  积  的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做  幂  。在aⁿ中，a叫做 底数   ，n叫做  指数  。aⁿ看作a的n次方的结果时，读作 a的n次幂 ；aⁿ看作a的n次方的运算时，读作a的n次乘方 。

2．乘方运算与加减乘除运算一样，首先确定幂的符号，负数的奇次幂是  负数  ，负数的偶次幂是  正数  ，正数的任何次幂都是  正数  ，0的任何正数次幂是 0 。

 

1.5.1有理数的混合运算

有理数的混合运算顺序是先算  乘方 ，再算 乘除 ，最后算  加减 ；同级运算从 左  到 右 进行；如果有括号，就先算 括号里面的 。

 

1.5.2科学记数法

一个大于10的数表示成  a×10ⁿ  的形式（其中a大于或等于1且小于10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法．指数n等于原数的整数位数 减去1 。

 

1.5.3近似数

1．与实际完全符合的数是准确数，与实际接近而不等于实际的数是 近似数 。

2．用“ 四舍五入”求一个数的近似数，一个近似数四舍五入到什么位，就说精确到什么位，近似数最末位的数字在什么位上就表明精确到什么位，即近似数的精确度．

 

第二章 整式的加减

2.1  用字母表示数

用字母表示数，字母和数一样可以参与  运算 ，可以用式子把 数量关系  简明地表示出来．

 

2.1单项式

1．表示数或字母的 积  的式子叫做单项式．单独的 一个数 或 字母 也是单项式．

2．单项式的系数及次数：

(1) 单项式的系数：单项式中的  数字  因数叫做这个单项式的系数；

(2) 单项式的次数：一个单项式中 所有 字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3．确定单项式系数应注意两点：

(1) 注意单项式的系数包含它的符号；

(2) 注意一些表示常数的字母是单项式的系数，如π。

 

2.1多项式与整式

1．多项式的有关概念：

(1) 多项式：几个单项式的和  叫做多项式；

(2) 多项式的项：多项中的每一个 单项式 叫做多项式的项，有几项就是几项式；

(3) 常数项：多项式中  不含字母的项  叫做常数项；

(4) 多项式的次数：多项式里  次数最高项  的次数叫做这个多项式的次数．

2．整式：  单项式  与  多项式  统称为整式．

3．多项式的次数不是所有项的次数之和，多项式的每一项都包括它前面的 符号 。

 

2.2同类项、合并同类项

1．同类项需要满足两个条件，它们分别是(1) 所含字母相同 ；(2) 相同字母的指数分别相同 。

2．把多项式中的 同类项 合并成一项，叫做合并同类项．

3．合并同类项的法则：将同类项的  系数 相加，作为结果的 系数 ，且字母连同它的指数   不变．

 

2.2去括号

如果括号外的因数是  正数 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 ；如果括号外的因数是 负数 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 。

 

2.2整式的加减

1．整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就  先去括号 ，然后 再合并同类项 。

2．几个整式相加减，通常用括号 将每一个整式括起来 ，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。

3．在实际应用中，要注意单位统一，表示某种意义的式子要用括号括起来。

 

第三章 一元一次方程

3.1.1一元一次方程

1． 含有未知数  的等式叫做方程； 只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，并且等号两边都是整式 的方程叫做一元一次方程。

2. 使方程左右两边相等的未知数的值 叫做这个方程的解。 求方程解的   过程，叫做解方程。

 

3.1.2等式的性质

1．等式性质1：等式两边同时加（或减） 同一个数 （或式子），结果仍相等，即如果a = b，那么a ± c =  b ± c

2．等式性质2：等式两边同时乘  同一个数  或除以  同一个不为0的数 ，结果仍相等，即如果a = b，那么ac =  bc  ；如果a = b(c≠0)，那么

 

3.2合并同类项的解方程

用合并同类项的方法解方程的步骤：

1. 合并同类项，即把方程中含有未知数的项合并，常数项合并，把方程化为 ax = b  的形式；
2. 系数化为1，根据 等式性质2 ，两边都除以a，得x =

 

3.2移项

1. 把等式一边的某项变号后  移到另一边，叫做移项．
2. 移项的目的：通过移项，把含有未知数的项与常数项分别位于方程左右两边 ，使方程更接近  x = a 的形式。
3. 移项的理论依据是 等式性质1 移项一定要变号 。
4. 解简单的一元一次方程的步骤： (1) 移项； (2) 合并同类项； (3)系数化为1。

 

3.3解一元一次方程----去括号

1．方程中含有括号时，解方程过程中把括号去掉的过程叫做 去括号   ，方法与整式加减中的去括号规律类似。

2．行程问题常用的等量关系：

(1)路程 =  速度 × 时间

(2)顺逆流问题：

①往返路程相等，即顺流速度×顺流时间 = 逆流速度×  逆流时间   ；

②顺流速度 = 静水速度 +  水流速度

③逆流速度 = 静水速度 -  水流速度 ；

④顺流速度 - 水流速度 = 逆流速度  + 水流速度．

 

3.3解一元一次方程----去分母

1．去分母：方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 ，不要漏乘不含分母的项；当分子是多项式时应加括号；如果分母中有小数，要首先化小数为 分数 ，去分母的依据是 等式性质2 。

2．解一元一次方程的基本步骤： (1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 合并同类项；(5) 系数化为1．但并不是解每一个方程都需要这五个步骤，这五个步骤的先后顺序并非固定不变，要根据方程的特点，确定恰当的步骤，灵活解方程。

 

3.4实际问题与一元一次方程----配套与工程问题

1．解决配套问题时，关键是明确配套的物品之间的  数量关系 ，它是列方程的依据．

2．工程问题

(1) 工作时间、工作效率、工作量之间的关系：

①工作量 = 工作时间 × 工作效率；

②工作时间 = 工作量 ÷工作效率；

③工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间

(2) 通常设完成全部工作的总工作量为 “ 1 ” ，如果一项工作分几个阶段完成，那么各阶段工作量的和 =  总工作量  ，这是常见的列方程的依据．

(3) 一项工作，甲用a小时完成，则甲的工作效率是  ；若这项工作乙用b小时完成，则乙的工作效率是  。

(4) 人均效率：人均效率表示平均每人单位时间完成的工作量．例如，一项工作由m个人用a小时完成，那么人均效率为   ，a个人b小时完成的工作量 = 人均效率 × a × b 

 

3.4实际问题与一元一次方程----销售和利润问题

1．商品销售和利润问题中的关系式；

① 商品利润 = 商品售价 - 商品成本价（商品进价）；

商品利润率 =   ×100% ；

商品销售额 = 商品销售价 × 商品销售量；

商品的销售利润 =（销售价 - 成本）× 销售量．

②折扣问题：商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售。如商品打8折出售，即按原价的 80%  出售。

2．利息= 本金 × 利率 × 存款时间

年利率 =  × 100%

 

3.4实际问题与一元一次方程----比赛问题

球赛积分表中的数量关系：

比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数；

比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分

 

3.4实际问题与一元一次方程----优化方案问题

实际问题中选择最优方案时，首先弄清题意，找出每种方案中的  等量 关系，再通过解方程或列算式求解后加以比较选择。

 

第四章 几何图形初步

4.1几何图形

1．从实物中抽象出的各种图形称为  几何图形 。

2．有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是 立体图形 ，如 圆柱体、圆锥体 等；有些图形的各个部分在同一平面内，它们是  平面图形 ，如 直线、射线、线段 等．

 

4.1从不同方向观察立体图形

1. 从正面、左面、右面 三个方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。

2．有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

 

4.1.2点、线、面、体

长方体、正方体、圆柱、球都是几何体，几何体也简称为 体 ．包围着体的是  面 ，面有  平  面和 曲  面两种，面和面相交的地方形成  线 ，线和线相交的地方形成 点 。

 

4.2直线、射线、线段

1．经过一点有 无数 条直线，经过两点有且只有 一 条直线．

2．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线 相交  ，这个公共点叫做它们的 交点 。

如：平面上三条直线两两相交，最多有 三  个交点，最少有  一  个交点。

3．直线、射线、线段的区别：（填写下表）

名称		直线	射线	线段
基本图形
表示方法		直线AB（BA） 直线a	射线OA 射线l	线段AB（BA） 线段a
端点个数		0	1	2
图形性质	延伸性	向两旁无限延伸	向一旁无限延伸	不能延伸
	延长性	不存在延长	可反向延长	可向两旁任意延长
	性 质	两点确定一条直线	无	两点之间线段最短
	度量性	不可度量	不可度量	可度量
相关关系		射线、线段都是直线的一部分

 

4.2线段大小的比较

1．比较两条线段的长短，我们可用刻度尺分别测量出 它们的长度  来比较，或把其中的一条线段移到 另一条直线上 作比较，这两种方法分别叫度量法和叠合法。

2．线段的性质：连接两点间的线段的 长度  叫做两点间的距离，两点的所有连线中，线段最短 简称两点之间， 线段  最短．

3．点M是线段AB的中点．则用式子表示为：A M = MB = AB，或AB =  2MA = 2MB 。

 

4.3.1角

1．角的定义：

(1) 角是由一个端点引出的两条 射线 组成的图形，其中公共端点是角的 顶点 ，两条射线是角的两条边；

(2) 角是由一条射线绕着它的端点 旋转 而成的图形。

2．角的表示方法：（填写下表）

方法	图 形	表 示	适用范围	注 意
用三个大写字母		∠AOB	所有角	顶点字母在中间
用一个大写字母		∠O	顶点处只有一个角	用顶点字母表示
用数字或希腊字母		∠1 或∠a	所有角	角的内部弧线加相应数字或希腊字母

3. 1周角 =360°，1平角 =180°，1直角 = 90°，1周角 = 2平角 = 4直角

1°= 60¢=3600²，1¢= 60²，1¢= ()°，1²= ()¢= ()°

 

4.3.2角的比较与运算

1．角的比较方法有两种 度量法  和 叠合法  。

2．角的和、差：如图，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作：∠AOC = ∠AOB +∠BOC

∠AOB是∠AOC与∠BOC.的差，记作：∠AOB =∠AOC -∠BOC  。

3．从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线．叫做这个角的 角平分线 。如图．如果∠AOB=∠BOC，即OB平分∠AOC，那么∠AOC =2∠AOB =2∠BOC，∠AOB=∠BOC=  ∠AOC

 

4.3.3余角和补角

1．余角、补角的概念：如果两个角的和是  90°  ，那么这两个角互余，其中的一个角是另一角的余角；如果两个角的和是  180°  ，那么这两个角互补，其中的一个角是另一个角的补角。

2．余角与补角的性质：同角（等角）的补角 相等 ，同角（等角）的余角 相等 。

 

4.4课题学习

设计各种各样的长（正）方体形状包装盒时，要先绘制长（正）方体的表面展开图，再把它剪出并折叠成长(正)方体，此外，还要用到美术知识、语言知识、生产知识等．